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第二章 参数估计

结束

1

2.1 点估计和区间估计

统计推断：参数估计和假设检验

参数估计：点估计和区间估计

本章介绍参数估计；下一章介绍假设检验.

假定总体分布形式已知,但其中含有未知参数,需要通过样本来推断估计,称为参数估计.

用一个具体的数值数值去估计未知参数,称为点估计;用一个区间去估计未知参数可能的取值范围,称为区间估计.区间估计的好处是增加了估计的可靠性,但是以牺牲估计精度为代价的.

2.2 矩估计和最大似然估计

一.矩法

用样本的k阶原点矩Mk去估计总体的k阶原点矩EXk.

结束

2

设总体的密度函数为 f(x;?) ,? 是待估计的未知参数,

由大数定理

定义2.2.1 当n充分大时,令

解某某m个方程得到 的估计值 称为矩估计值.

结束

3

特别地,当总体期望和方差存在,且需要估计,分别为?,?2,有

例1 X~U(?1 ,?2),估计?1 ,?2

结束

4

例2 X~B(k, p ) 估计k, p

当总体期望和方差形式已知(比如是常见的6个分布),则不需作积分去求EX和DX,若只知密度函数,则要作积分求EX和DX,而这常是矩法的难点.如:

习题二.1 X的密度函数如下,求? 的矩估计

结束

5

二.最大似然法(MLE)

原理:一次随机试验中发生的试验具有最大概率,反之,如能使事件发生的概率最大化,则事件最有可能发生.

优点:充分利用总体分布的函数信息,克服了矩法的某些不足,具有无偏性和有效性.

似然函数:

最大似然估计量:使

成立的估计量.

结束

6

为求最大似然估计量,应解以下似然方程组:

因函数的对数和函数本身同时取得最大值，为计算方便,常某某L取对数再求导, 改写似然方程组为:

步骤:

结束

7

例3 X~N(?,?2) 估计?,?2

结束

8

例4 X~B(1,p )

有时似然方程无解,只能应用定义分析求解,如

例5 X~U(0, ? )

结束

9

最大似然估计具有函数不变性:

结束

10

2.3 点估计的优良性准则

不同的点估计方法找到的估计量可能是不同的，如何评价估计量的优劣？以下引入无偏性，最小方差无偏性和相合性。

一.无偏性

定义2.3.1 称 无偏估计量.

若 则称 渐近无偏估计量.

例2.3.1

有时同一参数会有很多无偏估计量,有时找出的无偏估计量有明显弊病,仅要求估计量的无偏性是不够的.

二.最小方差无偏性

定义2.3.2 的无偏估计量,且

则称 有效.

结束

11

例子2.3.2

作为 ? 的估计量哪个更有效.

定义2.3.3 如果存在 ,使得对任意无偏估计T 都有 则称 的一致最小方差无偏估计量(UMVU).

对某个分布的一个待估参数,如果能找到这个待估参数的估计量下界,而某个无偏估计量又能达到这个下界,它就一定是UMVU.

结束

12

定理2.3.1(Cramer-Rao不等式)

的无偏估计量,且满足:

结束

13

例 2.3.3 X?E(?),求? 的C-R下界

结束

14

称方差达到C-R下界的无偏估计量为有效估计量

显然: 有效估计量?一致最小方差无偏估计?无偏估计.

有效估计有一种简单明了的求法:

定理2.3.2 条件同定理2.3.1,则:

1) 的有效估计量的充要条件是

2)

3) 的有效估计量是唯一的;

4) 的有效估计量一定是唯一的最大似然估计量.

结束

15

例 2.3.4 X?E(?),求? 有效估计量

结束

16

例 2.3.5 X?B(1, p),求p 有效估计量

结束

17

例 2.3.6 X?N(μ,σ2),求μ,σ2 有效估计量

X?U(0,θ), θ的C-R不等式不成立.因为条件`1)不成立.

结束

18

均方某某

三.相合性(一致性),描述当n趋于无穷时估计量的性质.

定义 2.3.4 对任给的 满足:

定理 2.3.2 对任给的 满足:

结束

19

例 2.3.7 X?B(1,p)

例 2.3.8 X? N(μ,σ2)

2.4 区间估计

定义 2.4.1

结束

20

置信度 1-α 是区间估计的可信程度,区间长度 称为精度.可信程度和精度不能同时提高,一般先确定置信度 1-α 求置信区间.

一.一个正态总体情况 X~N(μ,σ2)

1. μ的区间估计

结束

21

例2.4.1

结束

22

2. σ2的区间估计

结束

23

例2.4.2

一般置信区间的求解步骤:

结束

24

例2.4.3

精度与置信度的关系:

在同样的置信度下,增加样本可提高精度;

在同样的样本下,置信度低精度高,置信度高精度低.

结束

25

二.两个正态总体情况

实际问题中,常需要对两个正态总体的均值差或方差比给出

区间估计.

1. 均值差 的区间估计:

结束

26

1) 已知时类似前面推导可知:

2) 未知,若样本容量较大时(n1,n2>30):

3) 未知,若样本容量较小时,假定 由推论1.4.3

结束

27

实际使用时要根据 是否已知和样本容量大小时,分别使用不同公式.

例2.4.4 男女睡眠时间比较

结束

28

结束

29

2. 方差比 的区间估计:

结束

30

例2.4.5

结束

31

三.非正态总体情况

一般难以计算,但样本容量较大时,可以化为正态总体情况处理.以下讨论0-1分布的参数 p 的置信区间.此处假定 n >30

结束

32

另一种方法

结束

33

例2.4.6

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